Math Calculo Integral

Cálculo Integral

Integrales indefinidas

• Definición: ∫f(x)dx = F(x) + C donde F'(x) = f(x)
• Constante de integración: siempre añadir + C
• Linealidad: ∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx

Integrales básicas

• ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C
• ∫eˣdx = eˣ + C
• ∫aˣdx = aˣ/ln(a) + C
• ∫sen(x)dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x)dx = sen(x) + C
• ∫sec²(x)dx = tan(x) + C
• ∫(1/√(1-x²))dx = arcsen(x) + C
• ∫(1/(1+x²))dx = arctan(x) + C

Integrales definidas

• Definición: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) (Teorema Fundamental del Cálculo)
• Propiedades:
  • ∫ₐᵃ f(x)dx = 0
  • ∫ₐᵇ f(x)dx = -∫ᵇₐ f(x)dx
  • ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵇᶜ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx
  • Si f ≥ 0 en [a,b]: ∫ₐᵇ f(x)dx ≥ 0
  • Desigualdad del valor medio: ∃c ∈ [a,b]: ∫ₐᵇ f(x)dx = f(c) · (b-a)

Técnicas de integración

Sustitución (cambio de variable)

• ∫f(g(x)) · g'(x)dx = ∫f(u)du donde u = g(x)
• Cambiar límites si es definida
• Verificar derivando el resultado

Integración por partes

• ∫u dv = uv - ∫v du
• Regla LIATE para elegir u:
  1. Logarítmicas
  2. Inversas trigonométricas
  3. Algébricas (polinómicas)
  4. Trigonométricas
  5. Exponenciales

Fracciones parciales

• Factores lineales distintos: A/(x-a) + B/(x-b) + ...
• Factores lineales repetidos: A/(x-a) + B/(x-a)² + ...
• Factores cuadráticos: (Ax+B)/(x²+bx+c) + ...
• Siempre verificar que grado del numerador < grado del denominador

Integrales trigonométricas

• ∫senᵐ(x)cosⁿ(x)dx:
  • n impar: sustituir u = sen(x)
  • m impar: sustituir u = cos(x)
  • Ambos pares: usar identidades de ángulo mitad
• ∫secⁿ(x)dx:
  • n par: u = tan(x)
  • n impar: u = sec(x)

Aplicaciones

Área entre curvas

• Área = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx
• Si f ≥ g en [a,b]: Área = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)]dx

Volúmenes de revolución

• Discos: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx
• Arcos (shell): V = 2π∫ₐᵇ x·f(x)dx
• Anillos: V = π∫ₐᵇ [R(x)² - r(x)²]dx

Longitud de arco

• L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²)dx

Superficie de revolución

• S = 2π∫ₐᵇ f(x)√(1 + [f'(x)]²)dx

Ecuaciones diferenciales elementales

EDO separable

• dy/dx = f(x)g(y) → dy/g(y) = f(x)dx → ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx

EDO lineal de primer orden

• dy/dx + P(x)y = Q(x)
• Factor integrante: μ(x) = e^(∫P(x)dx)
• Solución: y = (1/μ(x)) · ∫μ(x)Q(x)dx

EDO lineal 2º orden coef. constantes

• ay'' + by' + cy = 0
• Ecuación característica: ar² + br + c = 0
• Raíces reales distintas r₁, r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
• Raíces repetidas r: y = (C₁ + C₂x)e^(rx)
• Raíces complejas α ± βi: y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sen(βx))

Errores comunes / Pitfalls

• Olvidar + C en integrales indefinidas
• Sustitución: cambiar límites SIEMPRE si es definida, o volver a la variable original
• Fracciones parciales: verificar grado numerador < denominador antes de descomponer
• Integración por partes: elegir u y dv correctamente (LIATE)
• Área entre curvas: usar valor absoluto si las curvas se cruzan (dividir en intervalos)
• Volúmenes: verificar si usar discos, arcos o anillos según el eje de rotación
• EDO: verificar la solución sustituyendo en la ecuación original

Verificación

• Derivar el resultado de la integral indefinida: ¿se obtiene el integrando?
• En integrales definidas: ¿el resultado tiene sentido geométrico (signo)?
• En fracciones parciales: recomponer y verificar
• En volúmenes: unidades correctas (longitud³)
• En EDOs: sustituir la solución en la ecuación