ntizar Ecuaciones
Ecuaciones de primer grado
- Forma: ax + b = 0 → x = -b/a (a ≠ 0)
- Método: despejar la incógnita operando inversamente
- Verificar siempre sustituyendo el resultado en la original
Ecuaciones de segundo grado
- Forma: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Fórmula general: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
- Discriminante: Δ = b² - 4ac
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas
- Δ = 0: una solución real (raíz doble)
- Δ < 0: dos soluciones complejas conjugadas
- Teorema de Vieta: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a
Pitfall: El signo de b es crucial. Si la ecuación es 2x² - 5x + 3 = 0, entonces b = -5, no 5.
Ecuaciones bicuadradas
- Forma: ax⁴ + bx² + c = 0
- Sustitución: x² = t → at² + bt + c = 0
- Resolver para t y luego x = ±√t
Ecuaciones con valor absoluto
- |x| = a (a > 0) → x = a o x = -a
- |x + b| < a → -a < x + b < a → -a - b < x < a - b
- |x + b| > a → x + b > a o x + b < -a
Pitfall: |x| = -3 no tiene solución (valor absoluto siempre ≥ 0).
Sistemas de ecuaciones (2 incógnitas)
- Sustitución: despejar una de otra y sustituir
- Igualación: despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones
- Reducción (eliminación): sumar o restar ecuaciones para eliminar una
- Matricial: Ax = b → x = A⁻¹b (si A es invertible)
Soluciones de un sistema 2×2:
- Sistema compatible determinado: una solución única
- Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)
- Sistema incompatible: ninguna solución (rectas paralelas)
Inecuaciones
- Reglas:
- Sumar/restar mismo valor: no cambia sentido
- Multiplicar/dividir por positivo: no cambia sentido
- Multiplicar/dividir por negativo: INVERTIR el sentido
- a < b → -a > -b (al multiplicar por -1)
Ecuaciones irracionales (con radicales)
- Aislar el radical en un lado
- Elevar al cuadrado ambos miembros
- Verificar soluciones (pueden aparecer soluciones espurias)
Pitfall: Elevar al cuadrado introduce soluciones espurias. Siempre verificar en la ecuación original.
Ecuaciones racionales
- Forma: P(x)/Q(x) = 0
- Condición: Q(x) ≠ 0 (verificar dominio antes de resolver)
- Solución: P(x) = 0, descartando valores que anulen denominadores
Errores comunes / Pitfalls
- Olvidar ± en raíz cuadrada: x² = 9 → x = ±3, no x = 3
- No verificar dominio: en ecuaciones racionales, los valores que anulan denominadores no son soluciones
- Invertir sentido de inecuación: al multiplicar/dividir por negativo
- Soluciones espurias: al elevar al cuadrado, verificar siempre en la original
- Discriminante negativo: no confundir con "no tiene solución" — tiene soluciones complejas
Verificación
- Sustituir la solución en la ecuación original
- Verificar Δ para segundo grado: ¿coincide con el número de soluciones?
- En sistemas, sustituir la solución en AMBAS ecuaciones
- En inecuaciones, probar un valor en la solución y uno fuera
- En ecuaciones con radicales, verificar que no haya soluciones espurias