Math Engineering

Matemáticas para Ingeniería

Referencias de autoridad

• Stewart: Cálculo, 8ª edición, Cengage
• Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 10ª edición, Wiley
• Boyce & DiPrima: Elementary Differential Equations, 11ª edición, Wiley
• Gradshteyn & Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products

Series de Fourier

Serie de Fourier

• f(x) = a₀/2 + Σ[aₙcos(nx) + bₙsen(nx)]
• a₀ = (1/π) ∫₋π^π f(x)dx
• aₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x)cos(nx)dx
• bₙ = (1/π) ∫₋π^π f(x)sen(nx)dx
• Período 2L: cambiar nx → nxπ/L y el factor 1/π → 1/L

Serie de Fourier en intervalos diferentes

• Período T = 2L: ω₀ = π/L
• f(x) = a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀x) + bₙsen(nω₀x)]

Serie de cosenos y senos

• Par extensión par: solo cosenos (bₙ = 0)
• Par extensión impar: solo senos (aₙ = 0)

Teorema de convergencia de Dirichlet

• Si f es continua a trozos y f' es continua a trozos en [-L, L]:
  • La serie converge a f(x) en puntos de continuidad
  • Converge a [f(x⁺) + f(x⁻)]/2 en puntos de discontinuidad

Coeficientes de Fourier complejos

• cₙ = (1/2L) ∫₋ᴸᴸ f(x)e^(-inxπ/L)dx
• f(x) = Σ cₙe^(inxπ/L)
• c₋ₙ = c̄ₙ (para f real)

Identidad de Parseval

• (1/2L) ∫₋ᴸᴸ |f(x)|²dx = |a₀|²/4 + ½Σ(|aₙ|² + |bₙ|²)

Transformada de Laplace

Definición

• F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ e^(-st)f(t)dt
• f(t) = L⁻¹{F(s)}

Transformadas notables

• L{1} = 1/s
• L{tⁿ} = n!/s^(n+1)
• L{e^(at)} = 1/(s-a)
• L{sen(at)} = a/(s² + a²)
• L{cos(at)} = s/(s² + a²)
• L{senh(at)} = a/(s² - a²)
• L{cosh(at)} = s/(s² - a²)
• L{tⁿe^(at)} = n!/(s-a)^(n+1)

Propiedades

• Linealidad: L{af + bg} = aL{f} + bL{g}
• Desplazamiento en s: L{e^(at)f(t)} = F(s-a)
• Desplazamiento en t: L{u(t-a)f(t-a)} = e^(-as)F(s)
• Derivada: L{f'(t)} = sF(s) - f(0)
• Segunda derivada: L{f''(t)} = s²F(s) - sf(0) - f'(0)
• Integral: L{∫₀ᵗ f(τ)dτ} = F(s)/s
• División por t: L{f(t)/t} = ∫ₛ^∞ F(u)du
• Convolución: L{(f*g)(t)} = F(s)·G(s)

Transformada inversa

• Fracciones parciales: descomponer F(s) y buscar en tabla
• Desplazamiento: usar L{e^(at)f(t)} = F(s-a)
• Convolución: L⁻¹{F(s)G(s)} = (f*g)(t)

Ecuaciones diferenciales con Laplace

1. Aplicar L a ambos lados de la EDO
2. Usar condiciones iniciales
3. Despejar Y(s)
4. Aplicar L⁻¹ para obtener y(t)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

EDO lineal 2º orden con coeficientes constantes

• ay'' + by' + cy = g(t)

Solución homogénea

• ay'' + by' + cy = 0
• Ecuación característica: ar² + br + c = 0

Casos:

• Raíces reales distintas r₁ ≠ r₂: y = C₁e^(r₁t) + C₂e^(r₂t)
• Raíces repetidas r: y = (C₁ + C₂t)e^(rt)
• Raíces complejas α ± βi: y = e^(αt)(C₁cos(βt) + C₂sen(βt))

Solución particular

Coeficientes indeterminados

• g(t) = polinomio → probar polinomio del mismo grado
• g(t) = e^(at) → probar Ae^(at)
• g(t) = sen(at) o cos(at) → probar Acos(at) + Bsen(at)
• g(t) = polinomio·e^(at) → probar polinomio del mismo grado·e^(at)
• g(t) = sen(at)·e^(bt) → probar [Acos(at) + Bsen(at)]·e^(bt)

Variación de parámetros

• y₁, y₂ son soluciones fundamentales
• yₚ = u₁y₁ + u₂y₂
• u₁' = -y₂g/W, u₂' = y₁g/W
• W = W(y₁, y₂) = y₁y₂' - y₁'y₂ (Wronskiano)

Sistema de segundo orden (oscilador amortiguado)

• my'' + cy' + ky = 0
• ω₀ = √(k/m) = frecuencia natural
• ζ = c/(2√(mk)) = factor de amortiguamiento
• Subamortiguado (ζ < 1): oscilaciones decrecientes
• Críticamente amortiguado (ζ = 1): retorno más rápido sin oscilar
• Sobreamortiguado (ζ > 1): retorno lento sin oscilar

Cálculo multivariable

Funciones de varias variables

• z = f(x, y): dominio en R², imagen en R
• Derivadas parciales: ∂f/∂x, ∂f/∂y
• Gradiente: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
• Derivada direccional: Dᵤf = ∇f · u⃗ (u⃗ unitario)
• Vector normal: ∇f es perpendicular al nivel f = c
• Plano tangente: z = f(a,b) + ∂f/∂x(a,b)(x-a) + ∂f/∂y(a,b)(y-b)

Optimización multivariable

• Puntos críticos: ∇f = (0, 0)
• Segunda derivada: D = fₓₓ·fᵧᵧ - (fₓᵧ)²
  • D > 0, fₓₓ > 0 → mínimo
  • D > 0, fₓₓ < 0 → máximo
  • D < 0 → punto de silla
  • D = 0 → indeterminado
• Multiplicadores de Lagrange: ∇f = λ∇g para f(x,y) con g(x,y) = c

Integrales dobles

• ∬_R f(x,y)dA = ∫ₐᵇ ∫ₐᵇ f(x,y)dydx
• Cambio a polares: dA = r·dr·dθ, x = rcos(θ), y = rsen(θ)

Integrales triples

• ∭_V f(x,y,z)dV
• Coordenadas cilíndricas: dV = r·dr·dθ·dz
• Coordenadas esféricas: dV = ρ²sen(φ)·dρ·dθ·dφ

Campos vectoriales y teoremas integrales

Campos vectoriales

• F⃗(x,y) = P(x,y)i⃗ + Q(x,y)j⃗
• Campo conservativo: F⃗ = ∇f (f es potencial)
• Condición: ∂Q/∂x = ∂P/∂y (en R², simplemente conexo)
• Integral de línea: ∫_C F⃗ · dr⃗
• Teorema fundamental: si F⃗ = ∇f, ∫_C ∇f · dr⃗ = f(B) - f(A)

Divergencia y rotacional

• Divergencia (R²): div F⃗ = ∂P/∂x + ∂Q/∂y
• Rotacional (R²): curl F⃗ = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k⃗
• Divergencia (R³): div F⃗ = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
• Rotacional (R³): ∇ × F⃗ = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i⃗ + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j⃗ + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k⃗

Teorema de Green

• ∮_C (Pdx + Qdy) = ∬_R (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dA
• C: curva cerrada simple, positiva (anti-horaria)
• R: región interior a C

Teorema de Stokes

• ∮_C F⃗ · dr⃗ = ∬_S (∇ × F⃗) · n⃗ dS
• S: superficie con borde C
• n⃗: normal unitaria (regla de la mano derecha)

Teorema de la divergencia (Gauss)

• ∬_S F⃗ · n⃗ dS = ∭_V (∇ · F⃗)dV
• S: superficie cerrada, n⃗ hacia fuera
• V: volumen encerrado por S

Errores comunes / Pitfalls

• Fourier: verificar el período. Si es 2L, los coeficientes cambian
• Laplace: verificar condiciones iniciales antes de aplicar L
• EDO 2º orden: si g(t) contiene términos de la solución homogénea, multiplicar por t
• Lagrange: verificar que el punto crítico satisface la restricción
• Cambio de variable: en polares, NO olvidar el factor r
• Teorema de Green: la curva debe ser cerrada y simple, orientada anti-horaria
• Stokes: la orientación de C y n⃗ deben ser consistentes (mano derecha)

Verificación

• Fourier: verificar coeficientes con f(x) = 1 (a₀ = 2, resto = 0)
• Laplace: L{f'(t)} = sF(s) - f(0). Verificar con f(t) = t
• EDO: verificar que yₕ + yₚ satisface la ecuación completa
• Gradiente: ∇f es perpendicular a las curvas de nivel
• Green: verificar con P = -y, Q = x → ∮ xdy - ydx = 2·Área