ntizar Estadística y Probabilidad
Estadística descriptiva
Medidas de tendencia central
- Media: x̄ = Σxᵢ/n
- Mediana: valor central (ordenar datos). Si n par: promedio de dos centrales
- Moda: valor más frecuente
- Media ponderada: x̄ = Σ(wᵢ · xᵢ) / Σwᵢ
Medidas de dispersión
- Rango: máximo - mínimo
- Varianza muestral: s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
- Varianza poblacional: σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
- Desviación típica: s = √s², σ = √σ²
- Coeficiente de variación: CV = s/x̄ (sin unidades)
Cuartiles y percentiles
- Q1 (25° percentil), Q2 = mediana, Q3 (75° percentil)
- Rango intercuartílico: IQR = Q3 - Q1
- Valores atípicos: x < Q1 - 1,5·IQR o x > Q3 + 1,5·IQR
Probabilidad
Conceptos básicos
- P(A): probabilidad de A, 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- Si A, B independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (probabilidad condicionada)
- P(A) + P(Aᶜ) = 1
Teorema de Bayes
P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) P(A|B) = P(B|A) · P(A) / [P(B|A) · P(A) + P(B|Aᶜ) · P(Aᶜ)]
Conteo
- Permutaciones: P(n,r) = n! / (n-r)!
- Combinaciones: C(n,r) = n! / (r! · (n-r)!)
- Principio multiplicativo: si hay m opciones para A y n para B: m·n combinaciones
Distribuciones de probabilidad
Distribución binomial
- X ~ B(n, p)
- P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)^(n-k)
- E[X] = np, Var(X) = np(1-p)
- Usar cuando: n ensayos independientes, 2 resultados, p constante
Distribución normal
- X ~ N(μ, σ²)
- f(x) = (1/(σ√(2π))) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))
- Normal estándar: Z ~ N(0, 1)
- Regla empírica: 68% en [μ-σ, μ+σ], 95% en [μ-2σ, μ+2σ], 99,7% en [μ-3σ, μ+3σ]
- Estandarización: Z = (X - μ) / σ
Distribución t de Student
- Similar a normal pero con colas más pesadas
- Grados de libertad: df = n - 1 (para una muestra)
- Usar cuando: σ desconocido, n pequeño (< 30)
Distribución χ² (Chi-cuadrado)
- df = n - 1 (para varianza)
- Usar en test de varianza y bondad de ajuste
Inferencia estadística
Intervalo de confianza para la media
- σ conocida: x̄ ± z_(α/2) · σ/√n
- σ desconocida: x̄ ± t_(α/2, n-1) · s/√n
- n grande (≥30): x̄ ± z_(α/2) · s/√n (aproximación)
Intervalo de confianza para la proporción
- p̂ ± z_(α/2) · √(p̂(1-p̂)/n)
Test de hipótesis
- Hipótesis nula (H₀): la que se quiere refutar
- Hipótesis alternativa (H₁): lo que se quiere demostrar
- Error tipo I (α): rechazar H₀ siendo cierta
- Error tipo II (β): no rechazar H₀ siendo falsa
- p-value: probabilidad de obtener un resultado tan extremo si H₀ es cierta
- Si p-value < α: rechazar H₀
- Z-test: σ conocida o n ≥ 30
- T-test: σ desconocida y n < 30
Test Z para la media
- Z = (x̄ - μ₀) / (σ/√n)
Test T para la media
- t = (x̄ - μ₀) / (s/√n) con df = n-1
Regresión lineal
Recta de regresión
- y = a + bx
- b = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²
- a = ȳ - b·x̄
Coeficiente de correlación (Pearson)
- r = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / √[Σ(xᵢ - x̄)² · Σ(yᵢ - ȳ)²]
- -1 ≤ r ≤ 1
- r = 1: correlación perfecta positiva
- r = -1: correlación perfecta negativa
- r = 0: sin correlación lineal
Coeficiente de determinación
- R² = r²: proporción de varianza explicada
Errores comunes / Pitfalls
- Varianza muestral: dividir por (n-1), NO por n (corrección de Bessel)
- p-value: NO es P(H₀ es cierta). Es P(datos | H₀)
- Correlación ≠ causalidad: r alto no implica que una variable cause la otra
- Normalidad: test Z solo si σ conocida o n grande. Si no, usar t
- Bayes: confundir P(A|B) con P(B|A). Son distintas
- Binomial: verificar independencia y p constante
- Intervalo de confianza: no interpretar como "P(μ está en el IC) = 95%". Interpretación correcta: si repitiéramos el experimento muchas veces, el 95% de los IC contendrían μ
Verificación
- Probabilidades: ¿están entre 0 y 1? ¿P(A) + P(Aᶜ) = 1?
- Media muestral: ¿entre el mínimo y el máximo?
- Varianza: siempre ≥ 0
- Correlación: -1 ≤ r ≤ 1
- p-value: < 1 (si es > 1, algo va mal)
- Regresión: verificar y̅ = a + b·x̄