Math Funciones

Funciones

Definición

• f: A → B asigna a cada x ∈ A un único y ∈ B
• Dominio (Dom(f)): conjunto de valores de x para los que f está definida
• Rango (Im(f)): conjunto de valores de y = f(x) que se obtienen
• Función inyectiva: f(a) = f(b) → a = b (un a uno)
• Función suprayectiva: Im(f) = B (llega a todo el codominio)
• Función biyectiva: inyectiva + suprayectiva → tiene inversa

Tipos de funciones

Función lineal

• y = mx + b
• m = pendiente (razón de cambio), b = ordenada en el origen
• Pendiente entre dos puntos: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Recta vertical: x = c (pendiente indefinida)

Función cuadrática

• y = ax² + bx + c
• Vértice: xᵥ = -b/(2a), yᵥ = f(xᵥ)
• Eje de simetría: x = xᵥ
• Si a > 0: concava hacia arriba (mínimo). Si a < 0: concava hacia abajo (máximo)
• Raíces: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

Función polinómica

• P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
• Grado n → máximo n raíces reales
• Teorema fundamental del álgebra: n raíces (contando multiplicidad) en C

Función racional

• f(x) = P(x) / Q(x)
• Asíntotas verticales: donde Q(x) = 0 (y P(x) ≠ 0)
• Asíntota horizontal: lim(x→±∞) f(x)
  • deg(P) < deg(Q): y = 0
  • deg(P) = deg(Q): y = coef. principal P / coef. principal Q
  • deg(P) = deg(Q) + 1: asíntota oblicua (división polinómica)

Función exponencial

• f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
• Dom = R, Im = (0, +∞)
• f(x) = eˣ (base e ≈ 2,71828)
• Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1

Función logarítmica

• f(x) = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1)
• Dom = (0, +∞), Im = R
• Inversa de la exponencial: y = aˣ ↔ x = logₐ(y)
• logₐ(x) = ln(x) / ln(a) (cambio de base)
• ln(x) = logₑ(x), log(x) = log₁₀(x)

Composición de funciones

• (f ∘ g)(x) = f(g(x))
• Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)}
• NO es conmutativa: f ∘ g ≠ g ∘ f en general

Función inversa

• f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(x)) = x
• Método para hallar f⁻¹:
  1. y = f(x)
  2. Despejar x en función de y
  3. Intercambiar x e y: x = f⁻¹(y)
• Solo existe si f es biyectiva
• Gráficamente: simétrica respecto a y = x

Simetría

• Función par: f(-x) = f(x) → simétrica respecto al eje Y
  • Ej: f(x) = x², cos(x)
• Función impar: f(-x) = -f(x) → simétrica respecto al origen
  • Ej: f(x) = x³, sin(x), tan(x)
• La mayoría de funciones NO son ni pares ni impares

Transformaciones

• f(x) + k → desplaza k unidades arriba (k > 0)
• f(x - h) → desplaza h unidades derecha (h > 0)
• -f(x) → refleja respecto al eje X
• f(-x) → refleja respecto al eje Y
• a·f(x) → estira/encoge verticalmente (a > 1: estira, 0 < a < 1: encoge)
• f(bx) → estira/encoge horizontalmente (b > 1: encoge, 0 < b < 1: estira)

Errores comunes / Pitfalls

• Dominio de log: solo x > 0. log(x²) = 2log|x|, no 2log(x)
• Dominio de raíz par: radicando ≥ 0
• Asíntota vertical: verificar que el numerador NO se anule en ese punto (si se anula ambos, puede ser un agujero, no asíntota)
• Inversa de cuadrática: no es biyectiva en todo R. Restringir dominio a x ≥ -b/(2a) o x ≤ -b/(2a)
• Composición: f(g(x)) ≠ f(x) · g(x). Son cosas distintas
• log(a + b) ≠ log(a) + log(b). La correcta: log(a·b) = log(a) + log(b)

Verificación

• Dominio: ¿hay raíces pares? ¿logaritmos? ¿divisiones por cero?
• Rango: ¿tiene inversa? ¿es acotada?
• Simetría: comprobar f(-x)
• Asíntotas: calcular límites en ±∞ y en puntos singulares
• Inversa: verificar f(f⁻¹(x)) = x