Math Logaritmos Exponenciales

Logaritmos y Exponenciales

Función exponencial

• f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
• f(x) = eˣ (exponencial natural, base e ≈ 2,718281828...)
• Propiedades:
  • e^(x+y) = eˣ · eʸ
  • e^(xy) = (eˣ)ʸ
  • e⁰ = 1
  • eˣ > 0 para todo x ∈ R
  • Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1
  • Asíntota horizontal: y = 0 (cuando x → -∞ si a > 1)

Función logarítmica

• f(x) = logₐ(x) (a > 0, a ≠ 1)
• f(x) = ln(x) = logₑ(x) (logaritmo natural)
• f(x) = log(x) = log₁₀(x) (logaritmo decimal)
• Propiedades:
  • Dom = (0, +∞)
  • Im = R
  • log(ab) = log(a) + log(b)
  • log(a/b) = log(a) - log(b)
  • log(aⁿ) = n · log(a)
  • logₐ(x) = ln(x) / ln(a) (cambio de base)
  • logₐ(a) = 1, logₐ(1) = 0
  • logₐ(x) = 1/logₓ(a)

Derivadas e integrales

• d/dx(eˣ) = eˣ
• d/dx(aˣ) = aˣ · ln(a)
• d/dx(ln(x)) = 1/x
• d/dx(logₐ(x)) = 1/(x · ln(a))
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C

Ecuaciones exponenciales

• a^(f(x)) = a^(g(x)) → f(x) = g(x) (misma base)
• a^(f(x)) = b → f(x) = logₐ(b)
• x² = a → x = ±√a (cuidado con signos)

Ecuaciones logarítmicas

• logₐ(f(x)) = logₐ(g(x)) → f(x) = g(x) (y f(x) > 0, g(x) > 0)
• logₐ(f(x)) = b → f(x) = aᵇ
• log(f(x)) + log(g(x)) = log(f(x)·g(x)) (solo si f > 0 y g > 0)

Crecimiento y decaimiento exponencial

Crecimiento exponencial

• P(t) = P₀ · e^(kt) donde k > 0
• P₀ = cantidad inicial, k = tasa de crecimiento

Decaimiento exponencial

• P(t) = P₀ · e^(-kt) donde k > 0
• Vida media: t₁/₂ = ln(2)/k ≈ 0,693/k

Interés compuesto

• A = P(1 + r/n)^(nt) (n veces al año)
• A = Pe^(rt) (capitalización continua)

Función logística

• P(t) = M / (1 + Ae^(-kt))
• M = capacidad de carga, A = (M - P₀)/P₀
• Usada en epidemiología, crecimiento poblacional

Desigualdades con exponenciales y logaritmos

• aˣ > aʸ: si a > 1, x > y; si 0 < a < 1, x < y (se invierte)
• logₐ(f(x)) > logₐ(g(x)): si a > 1, f(x) > g(x); si 0 < a < 1, f(x) < g(x)
• Siempre verificar dominio: argumento del log > 0

Errores comunes / Pitfalls

• log(a + b) ≠ log(a) + log(b). Solo log(ab) = log(a) + log(b)
• ln(x²) = 2ln|x|, no 2ln(x) (el dominio de ln(x²) es x ≠ 0, no x > 0)
• e^(x+y) ≠ eˣ + eʸ. La correcta: e^(x+y) = eˣ · eʸ
• Resolver aˣ = b: si a < 0 o a = 0, no tiene sentido para exponentes reales
• Decaimiento vs crecimiento: signo de k en e^(kt). k > 0 → crecimiento, k < 0 → decaimiento
• Vida media: t₁/₂ = ln(2)/k, NO 1/k

Verificación

• Verificar dominio: argumentos de log > 0
• Comprobar propiedades con valores numéricos simples
• En ecuaciones logarítmicas: verificar que soluciones estén en el dominio
• En decaimiento: ¿la cantidad disminuye con el tiempo?
• ln(eˣ) = x, e^(ln(x)) = x (solo si x > 0)