ntizar Números y Álgebra Elemental
Referencias de autoridad
- Khan Academy — Pre-Algebra & Algebra 1 (khanacademy.org)
- OpenStax Algebra — Elementary Algebra (openstax.org)
- Barron's — Schaum's Outline of Beginning Algebra
Conjuntos numéricos
- N (naturales): {1, 2, 3, ...}
- N₀ (naturales con cero): {0, 1, 2, 3, ...}
- Z (enteros): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- Q (racionales): p/q donde p∈Z, q∈Z, q≠0
- I (irracional): √2, π, e — no se pueden expresar como fracción
- R (reales): Q ∪ I
Propiedad: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Propiedades de potencias
- a^m · a^n = a^(m+n)
- a^m / a^n = a^(m-n)
- (a^m)^n = a^(m·n)
- a^0 = 1 (a ≠ 0)
- a^(-n) = 1/a^n
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
Pitfall: (a + b)² ≠ a² + b². La correcta es a² + 2ab + b².
Raíces y radicales
- ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b
- ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a
Pitfall: √(a + b) ≠ √a + √b. No se distribuye la raíz sobre suma.
Notación científica
- Formato: a × 10ⁿ donde 1 ≤ |a| < 10
- Ejemplo: 3 450 000 = 3,45 × 10⁶
- Ejemplo: 0,000 078 = 7,8 × 10⁻⁵
Factorización
- Factor común: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
- Trinomio cuadrado: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
- Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b)
- Diferencia de cubos: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
- Suma de cubos: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
MCD y MCM
- MCD(a,b): mayor divisor común. Se calcula con Euclides o factorización prima.
- MCM(a,b): menor múltiplo común. MCM(a,b) = |a·b| / MCD(a,b)
Operaciones con fracciones
- a/b + c/d = (ad + bc) / bd
- a/b · c/d = ac / bd
- a/b ÷ c/d = a/b · d/c = ad / bc
Pitfall: No sumar denominadores. a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d).
Orden de operaciones (PEMDAS)
- Paréntesis
- Exponentes
- Multiplicación y división (izquierda a derecha)
- Suma y resta (izquierda a derecha)
Errores comunes / Pitfalls
- Signos: -(-x) = +x, -(a+b) = -a-b
- Potencias con base negativa: (-2)² = 4, pero -2² = -4
- Dividir por cero: indefinido, siempre verificar denominadores ≠ 0
- Simplificar fracciones: solo se puede simplificar factores, no términos sumados
- Raíz cuadrada: √(x²) = |x|, no x (solo si x ≥ 0)
Verificación
- Verificar factorización multiplicando los factores
- Comprobar potencias con valores numéricos simples
- En notación científica, verificar que 1 ≤ |a| < 10
- En fracciones, comprobar con valores numéricos
- MCD × MCM = |a × b| (siempre)