ntizar Sucesiones y Series
Sucesiones aritméticas
- Definición: aₙ = aₙ₋₁ + d, donde d es la diferencia común
- Término general: aₙ = a₁ + (n-1)·d
- Suma de n términos: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · [2a₁ + (n-1)d]
- Propiedad: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 (término medio)
Ejemplo: 3, 7, 11, 15, ... → a₁ = 3, d = 4, a₁₀ = 3 + 9·4 = 39
Sucesiones geométricas
- Definición: aₙ = aₙ₋₁ · r, donde r es la razón común
- Término general: aₙ = a₁ · r^(n-1)
- Suma de n términos (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1)
- Suma infinita (|r| < 1): S∞ = a₁ / (1 - r)
Ejemplo: 2, 6, 18, 54, ... → a₁ = 2, r = 3, a₁₀ = 2 · 3⁹ = 39 366
Series
- Notación sumatorio: Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ = a₁ + a₂ + ... + aₙ
- Series aritméticas infinitas: divergen (salvo d = 0)
- Series geométricas infinitas: convergen si |r| < 1
Test de convergencia
Test de la n-ésima (terminación)
Si lim(n→∞) aₙ ≠ 0, la serie Σaₙ diverge. Pitfall: Si lim = 0, NO se concluye nada (podría converger o divergir).
Series geométricas
Σ arⁿ converge si |r| < 1, diverge si |r| ≥ 1.
Serie telescópica
Σ (bₙ - bₙ₊₁) = b₁ - lim(n→∞) bₙ₊₁
Test de comparación
Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ y Σbₙ converge, entonces Σaₙ converge. Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ y Σaₙ diverge, entonces Σbₙ diverge.
Test de comparación por límites
Si lim(aₙ/bₙ) = L donde 0 < L < ∞, ambas series convergen o ambas divergen.
Test de la razón (d'Alembert)
L = lim|aₙ₊₁/aₙ|. Si L < 1: converge. Si L > 1: diverge. Si L = 1: indeterminado.
Test de la raíz (Cauchy)
L = lim |aₙ|^(1/n). Si L < 1: converge. Si L > 1: diverge. Si L = 1: indeterminado.
Test de la integral
Si f(x) es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1, entonces Σaₙ y ∫₁^∞ f(x)dx convergen o divergen juntas, donde aₙ = f(n).
Serie armónica
Σ 1/n diverge (aunque lim 1/n = 0).
Serie p
Σ 1/nᵖ converge si p > 1, diverge si p ≤ 1.
Series notables
- Armónica: Σ 1/n → diverge
- p-series: Σ 1/nᵖ → converge si p > 1
- Geométrica: Σ arⁿ → converge si |r| < 1
Errores comunes / Pitfalls
- Confundir d y r: en aritmética se suma d, en geométrica se multiplica por r
- Suma geométrica infinita: solo aplica si |r| < 1. Si r ≥ 1, la serie diverge
- Test de la n-ésima: lim = 0 NO implica convergencia (ej: serie armónica)
- Índices del sumatorio: Σᵢ₌₀ⁿ ≠ Σᵢ₌₁ⁿ. Verificar el índice de inicio
- Fórmula de suma geométrica: Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1) = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r). Son equivalentes pero cuidado con signos
Verificación
- Verificar término general calculando los primeros 3-4 términos manualmente
- En series geométricas infinitas: ¿|r| < 1?
- Aplicar test de la n-ésima antes de tests más complejos
- Para series con factoriales: usar test de la razón
- Para series con potencias n-ésimas: usar test de la raíz