Math Vectores Matrices

Vectores y Matrices

Vectores en R2 y R3

• Vector: v = (v₁, v₂, ...) = v₁e₁ + v₂e₂ + ...
• Norma (módulo): ||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)
• Vector unitario: u = v / ||v||
• Vector nulo: 0 = (0, 0, ...)

Producto escalar (dot product)

• u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = ||u||·||v||·cos(θ)
• u · v = 0 ↔ u ⊥ v (ortogonales)
• Propiedades: conmutativo, distributivo, homogéneo

Producto vectorial (cross product, R3)

• u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)
• ||u × v|| = ||u||·||v||·|sen(θ)| = área del paralelogramo
• u × v ⊥ u y u × v ⊥ v
• Propiedades: anticonmutativo (u × v = -(v × u)), distributivo

Producto mixto (R3)

• [u, v, w] = u · (v × w) = det(u, v, w)
• Volumen del paralelepípedo
• [u, v, w] = 0 ↔ u, v, w son coplanarios

Matrices

Operaciones

• A + B: suma elemento a elemento (mismas dimensiones)
• cA: cada elemento multiplicado por escalar
• AB: producto matricial (n filas de A × n columnas de B)
  • (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ
  • NO es conmutativo: AB ≠ BA en general

Matrices especiales

• Identidad I: Iᵢⱼ = 1 si i = j, 0 si i ≠ j
• Simétrica: A = Aᵀ
• Antisimétrica: A = -Aᵀ
• Ortogonal: AᵀA = AAᵀ = I
• Diagonal: aᵢⱼ = 0 si i ≠ j

Transpuesta

• (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
• (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

Determinantes

2×2

det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc

3×3 (regla de Sarrus)

det([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Propiedades

• det(A) = det(Aᵀ)
• det(AB) = det(A) · det(B)
• det(A⁻¹) = 1/det(A)
• det(cA) = cⁿ · det(A) (A es n×n)
• A es invertible ↔ det(A) ≠ 0
• Si dos filas/columnas son iguales: det = 0

Regla de Cramer

Para Ax = b con A invertible: xᵢ = det(Aᵢ) / det(A) donde Aᵢ es A con la columna i reemplazada por b

Sistema de ecuaciones lineales

Método de Gauss (eliminación)

• Transformar en matriz triangular superior
• Sustitución hacia atrás
• Casos: compatible determinado (1 solución), indeterminado (infinitas), incompatible (ninguna)

Rango y Teorema de Rouché-Frobenius

• Sistema Ax = b compatible ↔ rang(A) = rang(A|b)
• Compatible determinado ↔ rang(A) = rang(A|b) = n (n incógnitas)
• Compatible indeterminado ↔ rang(A) = rang(A|b) < n
• Incompatible ↔ rang(A) ≠ rang(A|b)

Autovalores y autovectores

• Av = λv → λ es autovalor, v es autovector (v ≠ 0)
• Característica: det(A - λI) = 0
• Traza(A) = Σλᵢ = suma de diagonales
• det(A) = Πλᵢ = producto de autovalores

Diagonalización

• A es diagonalizable ↔ A tiene n autovalores linealmente independientes
• A = PDP⁻¹ donde D = diag(λ₁, ..., λₙ) y P = [v₁ | v₂ | ... | vₙ]
• Aⁿ = PDⁿP⁻¹

SVD (Descomposición en valores singulares)

• A = UΣVᵀ donde U, V son ortogonales y Σ es diagonal con σᵢ ≥ 0
• σᵢ = √(λᵢ(AᵀA)) = valores singulares
• Aplicaciones: compresión de datos, PCA, pseudoinversa

Errores comunes / Pitfalls

• Producto matricial: verificar dimensiones. A(m×n) × B(n×p) = C(m×p)
• Determinante 3×3: cuidado con los signos en Sarrus (3 positivos, 3 negativos)
• Autovalores complejos: si el polinomio característico no tiene raíces reales, usar C
• Diagonalización: multiplicidad algebraica ≠ multiplicidad geométrica → no diagonalizable
• Transpuesta del producto: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, NO AᵀBᵀ
• Producto vectorial: ||u × v|| = área del paralelogramo, NO del triángulo (la mitad)

Verificación

• Producto escalar: ¿es un escalar? ¿u · u = ||u||²?
• Producto vectorial: ¿u × v ⊥ u y ⊥ v?
• Det(AB) = det(A) · det(B)
• Autovalores: tr(A) = Σλᵢ y det(A) = Πλᵢ
• A · A⁻¹ = I
• Rang(A) ≤ min(m, n)