Stem Control

Teoría de Control

Referencias de autoridad

• Ogata: Modern Control Engineering, 5ª edición, Prentice Hall
• Katsuhiko: Control Systems Engineering, 7ª edición, Wiley
• Nise: Control Systems Engineering, 7ª edición, Wiley
• Franklin: Feedback Control of Dynamic Systems, 7ª edición, Pearson

Modelado en dominio del tiempo

Ecuación diferencial lineal

• aₙy⁽ⁿ⁾ + ... + a₁y' + a₀y = bₘu⁽ᵐ⁾ + ... + b₁u' + b₀u
• Lineal: cumple superposición y homogeneidad
• Invariantes en el tiempo: coeficientes constantes

Función de transferencia

• G(s) = Y(s)/U(s) = B(s)/A(s) (condiciones iniciales = 0)
• Polos: raíces de A(s) = 0
• Ceros: raíces de B(s) = 0
• Orden: grado máximo de A(s)

Diagrama de bloques

Elementos básicos

• Bloque: G(s)
• Sumador: ±
• Take-off point: señal se divide sin alterar

Reglas de simplificación

• Cascada: G₁(s)·G₂(s)
• Paralelo: G₁(s) ± G₂(s)
• Feedback negativo: G/(1 + GH)
• Feedback positivo: G/(1 - GH)
• Mover sumador: cruzar bloque = multiplicar por G o 1/G

Ganancia en lazo cerrado

• T(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s))
• Lazo abierto: G(s)
• Error: E(s) = U(s) - H(s)Y(s)

Respuesta transitoria (1º orden)

Sistema de primer orden

• τy' + y = Ku(t)
• Respuesta a escalón: y(t) = K(1 - e^(-t/τ))
• Constante de tiempo: τ
  • t = τ: y = 0,632·K
  • t = 4τ: y = 0,982·K (~98%)
• Tiempo de establecimiento: t_s ≈ 4τ (±2%)

Sistema de segundo orden

• s² + 2ζωₙs + ωₙ² = 0
• ωₙ = frecuencia natural (rad/s)
• ζ = factor de amortiguamiento (adimensional)
• Polos: s = -ζωₙ ± ωₙ√(ζ² - 1)

Casos de ζ:

• ζ = 0: oscilación sostenida (polos imaginarios puros)
• 0 < ζ < 1: subamortiguado (polos complejos conjugados)
• ζ = 1: críticamente amortiguado (polos reales iguales)
• ζ > 1: sobreamortiguado (polos reales distintos)

Respuesta a escalón (0 < ζ < 1):

• Tiempo de subida (10%-90%): t_r ≈ 1,8/ωₙ
• Tiempo pico: t_p = π/(ωₙ√(1-ζ²)) = π/ω_d
• Sobrepaso máximo: MP = e^(-ζπ/√(1-ζ²)) × 100%
• Tiempo de establecimiento (±2%): t_s ≈ 4/(ζωₙ)
• Frecuencia oscilatoria: ω_d = ωₙ√(1-ζ²)

Estabilidad

Criterio de Routh-Hurwitz

• Condición necesaria: todos los coeficientes ≠ 0 y mismo signo
• Tabla de Routh:
  • Primera fila: coeficientes pares
  • Segunda fila: coeficientes impares
  • Filas siguientes: se calculan con determinantes
• Número de cambios de signo en 1ª columna = número de polos en RHP

Estabilidad relativa

• Margen de ganancia: cuánto se puede aumentar K antes de inestabilidad
• Margen de fase: cuánto se puede retrasar la fase antes de inestabilidad

Análisis en frecuencia

Respuesta frecuencial

• G(jω) = |G(jω)|∠G(jω)
• Módulo: |G(jω)| = √(Re² + Im²)
• Fase: ∠G(jω) = arctan(Im/Re)

Diagramas de Bode

Magnitud (dB)

• 20log₁₀|G(jω)|
• Polo en origen: -20 dB/década
• Cero en origen: +20 dB/década
• Polo real: -20 dB/década después de ω_c
• Cero real: +20 dB/década después de ω_c

Fase

• Polo en origen: -90°
• Polo real: 0° a -90° (centrado en ω_c)
• Cero real: 0° a +90° (centrado en ω_c)

Márgenes de estabilidad

• ω_gc (corte de ganancia): |G(jω_gc)H(jω_gc)| = 1 (0 dB)
• ω_pc (corte de fase): ∠G(jω_pc)H(jω_pc) = -180°
• Margen de ganancia: GM = 1/|G(jω_pc)H(jω_pc)|
• Margen de fase: PM = 180° + ∠G(jω_gc)H(jω_gc)
• Estable: PM > 0° y GM > 1

Diagrama de Nyquist

• Criterio de Nyquist: Z = N + P
  • Z = número de polos en RHP del sistema en lazo cerrado
  • N = número de giros horarios alrededor de -1
  • P = número de polos en RHP del sistema en lazo abierto
• Estable: Z = 0

Compensación

Compensador PID

• P: K_p. Reduce error en estado estacionario pero no lo elimina
• I: K_i/s. Elimina error en estado estacionario, pero reduce estabilidad
• D: K_d·s. Mejora estabilidad y respuesta transitoria
• G_c(s) = K_p + K_i/s + K_d·s

Efectos:

• P: ↑ ganancia, ↓ margen de fase
• I: ↓ estabilidad, elimina error estacionario
• D: ↑ estabilidad, reduce sobrepaso, ↑ velocidad de respuesta

Compensador lead (anticipador)

• Mejora margen de fase y velocidad de respuesta
• G_c(s) = K·(s + z)/(s + p) con z < p
• Máximo avance de fase: φ_max = arcsen((p-z)/(p+z))
• Se coloca en ω_max ≈ √(zp)

Compensador lag (retardador)

• Mejora error en estado estacionario sin afectar mucho la estabilidad
• G_c(s) = K·(s + z)/(s + p) con z > p
• Atenuación: 20log(p/z)
• Se coloca muy por debajo de ω_gc

Compensador lead-lag

• Combina ambos: mejora transitoria y error estacionario

Errores comunes / Pitfalls

• Función de transferencia: solo válida con condiciones iniciales = 0
• Routh: si hay un cero en la primera fila, usar ε → 0
• Bode: el polo real cambia fase de 0° a -90°, NO de -90° a 0°
• Nyquist: contar giros HORARIOS como positivos
• PID: el derivador puro amplifica ruido. Usar D con filtro: K_d·s/(1 + s/N)
• Margen de fase: PM > 45° es recomendable para buena estabilidad

Verificación

• Función de transferencia: verificar condiciones iniciales = 0
• Routh: si todos los coeficientes tienen mismo signo, posible estabilidad
• Bode: cada polo real aporta -20 dB/década y -90° de fase
• Nyquist: Z = N + P. Estable si Z = 0
• PID: I elimina error estacionario, D mejora estabilidad
• Sobrepaso: MP = e^(-ζπ/√(1-ζ²)). Verificar con ζ = 0,5: MP ≈ 16%