Stem Probabilidad Estadistica Eng

Probabilidad y Estadística para Ingeniería

Referencias de autoridades

• Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability & Statistics for Engineers, 10ª edición, Pearson
• Hines, Montgomery, Goldsman & Borovetz: Probability & Statistics in Engineering, 5ª edición, Wiley
• Devore: Probability and Statistics for Engineering, 8ª edición, Cengage

Variables aleatorias y distribuciones

Función de distribución

• CDF: F(x) = P(X ≤ x)
• PDF: f(x) = dF/dx (continua)
• PMF: p(x) = P(X = x) (discreta)
• Propiedades: F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, f(x) ≥ 0

Esperanza y varianza

• Esperanza: E[X] = μ = ∫xf(x)dx (continua) o Σx·p(x) (discreta)
• Varianza: Var(X) = σ² = E[(X-μ)²] = E[X²] - μ²
• Desviación típica: σ = √σ²
• Momentos: E[Xⁿ] = momento n-ésimo
• Función generatriz: M_X(t) = E[e^(tX)]

Distribuciones discretas

Bernoulli

• P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p
• E[X] = p, Var(X) = p(1-p)

Binomial

• X ~ B(n, p)
• P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1-p)^(n-k)
• E[X] = np, Var(X) = np(1-p)
• Aproximación normal: si np > 5 y n(1-p) > 5

Poisson

• X ~ Pois(λ)
• P(X = k) = λᵏ·e^(-λ)/k!
• E[X] = λ, Var(X) = λ
• Aproximación de binomial: si n > 20 y p < 0,05 → Pois(np)

Geométrica

• X = número de ensayos hasta primer éxito
• P(X = k) = (1-p)^(k-1)·p
• E[X] = 1/p, Var(X) = (1-p)/p²

Distribuciones continuas

Normal

• X ~ N(μ, σ²)
• f(x) = (1/(σ√(2π)))·e^(-(x-μ)²/(2σ²))
• Estándar: Z ~ N(0, 1)
• Regla empírica: 68-95-99,7
• Suma de normales: X+Y ~ N(μ_x+μ_y, σ_x²+σ_y²) (independientes)

Exponencial

• X ~ Exp(λ)
• f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0
• F(x) = 1 - e^(-λx)
• E[X] = 1/λ, Var(X) = 1/λ²
• Sin memoria: P(X > s+t | X > s) = P(X > t)

Gamma

• X ~ Γ(α, β)
• f(x) = β^α·x^(α-1)·e^(-βx)/Γ(α)
• E[X] = α/β, Var(X) = α/β²
• Caso especial: Exp(λ) = Γ(1, λ)

Chi-cuadrado

• X ~ χ²(k) = suma de k variables normales estándar al cuadrado
• E[X] = k, Var(X) = 2k

t de Student

• X ~ t(k)
• Se usa cuando σ es desconocida y n es pequeña
• E[X] = 0 (k > 1), Var(X) = k/(k-2) (k > 2)

F de Fisher

• X ~ F(d₁, d₂)
• Se usa en ANOVA y comparación de varianzas
• E[X] = d₂/(d₂-2) (d₂ > 2)

Teoremas fundamentales

Ley de los grandes números

• X̄_n → μ cuando n → ∞ (convergencia en probabilidad)

Teorema del límite central

• Z_n = (X̄_n - μ)/(σ/√n) → N(0, 1) cuando n → ∞
• Aplica para cualquier distribución con μ y σ finitos
• n ≥ 30 suele ser suficiente

Desigualdad de Chebyshev

• P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k² para k > 0
• P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k²

Estimación de parámetros

Estimadores puntuales

• Media muestral: X̄ = Σxᵢ/n
• Varianza muestral: S² = Σ(xᵢ - X̄)²/(n-1)
• Propiedades: sesgo, eficiencia, consistencia, suficiencia

Intervalos de confianza

Media (σ conocida)

• IC = X̄ ± z_(α/2)·σ/√n

Media (σ desconocida)

• IC = X̄ ± t_(α/2, n-1)·S/√n

Proporción

• IC = p̂ ± z_(α/2)·√(p̂(1-p̂)/n)

Varianza

• IC = [(n-1)S²/χ²_(α/2, n-1), (n-1)S²/χ²_(1-α/2, n-1)]

Diferencia de medias

• IC = (X̄₁ - X̄₂) ± t_(α/2, ν)·S_p·√(1/n₁ + 1/n₂)
• S_p = √[((n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²)/(n₁+n₂-2)]

Tamaño de muestra

• Para media: n = (z_(α/2)·σ/E)²
• Para proporción: n = z_(α/2)²·p(1-p)/E²
• E = error máximo admisible

Pruebas de hipótesis

Estructura

• H₀: hipótesis nula (la que se quiere refutar)
• H₁: hipótesis alternativa
• α: nivel de significación (típicamente 0,05)
• p-value: P(datos | H₀)

Errores

• Error tipo I (α): rechazar H₀ siendo cierta
• Error tipo II (β): no rechazar H₀ siendo falsa
• Potencia: 1 - β = P(rechazar H₀ | H₁ es cierta)

Test Z para la media

• H₀: μ = μ₀
• Z = (X̄ - μ₀)/(σ/√n)
• Rechazar si |Z| > z_(α/2)

Test T para la media

• H₀: μ = μ₀
• t = (X̄ - μ₀)/(S/√n) con df = n-1
• Rechazar si |t| > t_(α/2, n-1)

Test para la varianza

• H₀: σ² = σ₀²
• χ² = (n-1)S²/σ₀²
• Rechazar si χ² < χ²_(1-α/2, n-1) o χ² > χ²_(α/2, n-1)

Test para proporciones

• H₀: p = p₀
• Z = (p̂ - p₀)/√(p₀(1-p₀)/n)

ANOVA (una vía)

• H₀: μ₁ = μ₂ = ... = μ_k
• F = MS_between/MS_within
• Rechazar si F > F_(α, k-1, N-k)

Regresión y correlación

Regresión lineal simple

• Y = β₀ + β₁X + ε
• Mínimos cuadrados: β₁ = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)/Σ(xᵢ - x̄)²
• β₀ = ȳ - β₁·x̄
• Coeficiente de determinación: R² = 1 - SS_res/SS_tot
• Error estándar: s = √(SS_res/(n-2))

Regresión múltiple

• Y = β₀ + β₁X₁ + ... + βₖXₖ + ε
• Y = Xβ + ε
• β̂ = (XᵀX)⁻¹XᵀY
• R² ajustado: R²_adj = 1 - (1-R²)(n-1)/(n-k-1)

Diagnóstico de regresión

• Residuos: eᵢ = yᵢ - ŷᵢ
• Normalidad de residuos: test de Shapiro-Wilk o QQ-plot
• Homocedasticidad: varianza constante de residuos
• Autocorrelación: test de Durbin-Watson

Confiabilidad

Función de confiabilidad

• R(t) = P(T > t) = 1 - F(t)
• Función de fallo: f(t) = -dR/dt
• Tasa de fallo: λ(t) = f(t)/R(t)

Distribución Weibull

• R(t) = e^(-(t/η)^β)
• β < 1: tasa de fallo decreciente (mortalidad temprana)
• β = 1: tasa constante (exponencial)
• β > 1: tasa de fallo creciente (desgaste)
• η = vida característica (R(η) = e^(-1) ≈ 0,368)

Sistemas en serie y paralelo

• Serie: R_sistema = R₁·R₂·...·Rₙ
• Paralelo: R_sistema = 1 - (1-R₁)(1-R₂)...(1-Rₙ)
• Sistema serie-paralelo: combinar paso a paso

MTBF y MTTF

• MTBF (Mean Time Between Failures): tiempo medio entre fallos
• MTTF (Mean Time To Failure): tiempo medio hasta el fallo
• Para exponencial: MTTF = 1/λ

Teoría de colas

Modelo M/M/1

• Llegadas: Poisson (λ)
• Servicio: exponencial (μ)
• 1 servidor, cola infinita, población infinita
• ρ = λ/μ < 1 (estabilidad)
• L = λ/(μ-λ) = ρ/(1-ρ) (nº medio en sistema)
• L_q = ρ²/(1-ρ) (nº medio en cola)
• W = 1/(μ-λ) (tiempo medio en sistema)
• W_q = ρ/(μ-λ) (tiempo medio en cola)

Modelo M/M/c

• c servidores
• ρ = λ/(cμ) < 1
• P₀ = 1/[Σ(n=0,c-1)(cρ)ⁿ/n! + (cρ)ᶜ/(c!(1-ρ))]
• L_q = P₀·(cρ)ᶜ·ρ/(c!(1-ρ)²)

Errores comunes / Pitfalls

• Binomial vs Poisson: binomial tiene n fijo, Poisson no. Poisson ≈ binomial si n > 20, p < 0,05
• Normal: la suma de normales es normal, pero la normal NO es la única distribución que converge a normal (TLC)
• IC para varianza: NO simétrico. Usar χ², no normal
• R²: un R² alto NO implica causalidad. Solo indica ajuste
• Confiabilidad en serie: el sistema es TAN FIABLE COMO el componente menos fiable
• Weibull: β = 1 → exponencial. No confundir η (vida característica) con MTTF

Verificación

• Binomial: E[X] = np, Var(X) = np(1-p). Si p = 0, E = 0 ✓
• Normal: regla 68-95-99,7. Verificar Z = (x-μ)/σ
• TLC: n ≥ 30 suele ser suficiente para la mayoría de distribuciones
• IC media: X̄ ± t·S/√n. Verificar df = n-1
• Weibull: R(η) = e^(-1) ≈ 0,368. MTTF = η·Γ(1+1/β)
• M/M/1: L = ρ/(1-ρ). Si ρ → 1, L → ∞ (cola crece sin límite)