Td Diedrico Punto Recta Plano

Geometría Descriptiva: Punto, Recta y Plano

Referencias de autoridad

• Llagostera: Geometría Descriptiva, Editorial Teide
• Ogura: Geometría Morfológica, Editorial Reverté
• Esquiroz: Dibujo Geométrico, Editorial Paraninfo
• ISO 128-30: Technical products documentation — Views — Representations on fixed views, section views, and detail views

Punto en el sistema diédrico

Representación

• A(x, y, z) → A' (alzado): (x, z) → arriba de la LT
• A(x, y, z) → A (planta): (x, y) → debajo de la LT
• La línea de unión A'-A es perpendicular a la LT

Cuadrantes

• 1º cuadrante: x > 0, y > 0, z > 0 (planta abajo, alzado arriba)
• 2º cuadrante: x > 0, y < 0, z > 0 (planta arriba, alzado arriba)
• 3º cuadrante: x > 0, y < 0, z < 0 (planta arriba, alzado abajo)
• 4º cuadrante: x > 0, y > 0, z < 0 (planta abajo, alzado abajo)
• En Europa se usa el 1º cuadrante (método europeo)

Puntos notables

• En el primer bisector: y = z (equidista de PV y PH)
• En el segundo bisector: y = -z
• En el plano vertical: y = 0 (A está sobre la LT)
• En el plano horizontal: z = 0 (A' está sobre la LT)
• Sobre la LT: y = z = 0 (punto en la intersección de PV y PH)

Recta en el sistema diédrico

Definición

• Dos puntos A y B definen una recta r
• r → r' (alzado) y r (planta)
• Traza horizontal (Th): intersección de r con PH (z = 0)
• Traza vertical (Tv): intersección de r con PV (y = 0)

Posiciones de la recta

• Horizontal: paralela a PH (r' paralela a LT)
• Frontal: paralela a PV (r paralela a LT)
• De punta: perpendicular a PH (r' es un punto, r es perpendicular a LT)
• De perfil: paralela a PL (r' y r perpendiculares a LT)
• Oblicua: no paralela ni perpendicular a ningún plano

Verdadera magnitud (VM)

• Una recta está en VM cuando es paralela al plano de proyección
• Recta horizontal: VM en planta
• Recta frontal: VM en alzado
• Recta oblicua: se obtiene VM por giro o cambio de plano

Plano en el sistema diédrico

Definición

• Un plano α se representa por sus trazas:
  • Traza horizontal (α₁): intersección de α con PH
  • Traza vertical (α₂): intersección de α con PV
  • Las trazas se cortan en la LT (punto de fuga)

Posiciones del plano

• Horizontal: paralelo a PH (α₂ paralela a LT, α₁ es un punto o no existe)
• Frontal: paralelo a PV (α₁ paralela a LT, α₂ es un punto o no existe)
• De canto: perpendicular a PH y PV (α₁ y α₂ perpendiculares a LT)
• Oblicuo: inclinado respecto a los tres planos (trazas oblicuas a LT)
• Paralelo a LT: α₁ y α₂ paralelas a LT (o una de ellas es paralela a LT y la otra no existe)

Rectas notables del plano

• Recta horizontal del plano: paralela a PH, está en el plano
  • Su alzado es paralelo a α₁ (traza horizontal)
• Recta de máxima pendiente: perpendicular a las horizontales del plano
  • Su planta es perpendicular a α₁
• Recta de máxima inclinación: perpendicular a α₁
  • Su alzado es perpendicular a α₂

Pertenencia

Punto en una recta

• A ∈ r ↔ A' ∈ r' y A ∈ r

Punto en un plano

• A ∈ α ↔ existe una recta r ∈ α tal que A ∈ r
• Método: trazar una recta por A en el plano (usando horizontales o frontales del plano)

Recta en un plano

• r ∈ α ↔ Th ∈ α₁ y Tv ∈ α₂
• O: r pasa por dos puntos de α, o por un punto y es paralela a una recta de α

Recta paralela a un plano

• r ∥ α ↔ existe una recta s ∈ α tal que r ∥ s
• Condición: Th ∈ α₁ o Tv ∈ α₂ (o ambas paralelas)

Recta perpendicular a un plano

• r ⊥ α ↔ r ⊥ todas las rectas de α
• Condición práctica: r' ⊥ α₂ y r ⊥ α₁ (para recta oblicua)
• Recta horizontal: r ⊥ α → r ⊥ α₁ (horizontal del plano)
• Recta frontal: r ⊥ α → r' ⊥ α₂ (frontal del plano)

Paralelismo y perpendicularidad

Paralelismo

• Dos rectas: r ∥ s ↔ r' ∥ s' y r ∥ s
• Recta y plano: r ∥ α ↔ existe s ∈ α tal que r ∥ s
• Dos planos: α ∥ β ↔ α₁ ∥ β₁ y α₂ ∥ β₂

Perpendicularidad

• Dos rectas: r ⊥ s (se cortan o se cruzan)
• Recta y plano: r ⊥ α → r' ⊥ α₂ y r ⊥ α₁
• Dos planos: α ⊥ β ↔ una traza de α es perpendicular a la otra traza de β

Errores comunes / Pitfalls

• Cuadrantes: en Europa se usa el 1º cuadrante. Planta abajo, alzado arriba
• Trazas: α₁ es la traza horizontal (con PH), α₂ es la traza vertical (con PV). No confundir
• Recta horizontal del plano: su alzado es PARALELO a α₁, no perpendicular
• Recta de máxima pendiente: su planta es PERPENDICULAR a α₁
• Pertenencia: un punto pertenece a un plano si está en una recta del plano. No basta con que las proyecciones coincidan
• Perpendicularidad recta-plano: r' ⊥ α₂ Y r ⊥ α₁. Ambas condiciones son necesarias

Verificación

• Punto: ¿A' y A están en la misma vertical?
• Recta: ¿las trazas están en los planos correctos? Th en PH (z=0), Tv en PV (y=0)
• Plano: ¿α₁ y α₂ se cortan en la LT?
• Pertenencia: ¿el punto está en una recta del plano?
• Perpendicularidad: ¿r' ⊥ α₂ y r ⊥ α₁?