Td Intermediate

Geometría Descriptiva y Perspectivas

Referencias de autoridad

• Ogura, J. — "Geometría Morfológica" — Editorial Reverté, ISBN 978-84-291-4982-3
• Esquiroz, J. — "Dibujo Geométrico" — Editorial Paraninfo, ISBN 978-84-283-2900-9
• Llagostera, J. — "Geometría Descriptiva" — Editorial Reverté, ISBN 978-84-291-4350-0
• Dupuis, P. — "Geometría Descriptiva" — Editorial Reverté
• ISO 128: Principios generales de representación en dibujos técnicos

Contenido clave

Geometría descriptiva: sistema diédrico

El sistema diédrico representa objetos tridimensionales mediante dos proyecciones ortogonales: alzado (plano vertical) y planta (plano horizontal). La intersección de ambos planos forma el plano de tierra (LT).

Representación del punto:

• Un punto en el espacio se representa mediante sus dos proyecciones: P' (alzado) y P (planta).
• Las proyecciones de un punto se alinean verticalmente, formando una línea de llamada perpendicular al plano de tierra.
• La distancia de P' al plano de tierra representa la cota (altura). La distancia de P al plano de tierra representa la alejamiento.
• Los cuadrantes se definen por la posición del punto respecto a los planos de proyección: primer cuadrante (cota positiva, alejamiento positivo), segundo cuadrante (cota positiva, alejamiento negativo), tercer cuadrante (cota negativa, alejamiento negativo), cuarto cuadrante (cota negativa, alejamiento positivo).

Representación de la recta:

• Una recta se define por dos puntos A y B. Sus proyecciones son a'a' (alzado) y ab (planta).
• Recta horizontal: paralela al plano horizontal. Su proyección en alzado es paralela al plano de tierra.
• Recta frontal: paralela al plano vertical. Su proyección en planta es paralela al plano de tierra.
• Recta de perfil: paralela al plano de perfil. Sus proyecciones en alzado y planta son perpendiculares al plano de tierra.
• Recta vertical: perpendicular al plano horizontal. Su proyección en planta es un punto.
• Recta de punta: perpendicular al plano vertical. Su proyección en alzado es un punto.

Representación del plano:

• Un plano se define por tres puntos no alineados, una recta y un punto exterior, o dos rectas secantes o paralelas.
• Los trazos del plano son las intersecciones del plano con los planos de proyección. La traza horizontal (PH) es la intersección con el plano horizontal. La traza vertical (PV) es la intersección con el plano vertical.
• Plano horizontal: paralelo al plano horizontal. Su traza vertical es paralela al plano de tierra.
• Plano frontal: paralelo al plano vertical. Su traza horizontal es paralela al plano de tierra.
• Plano vertical: perpendicular al plano horizontal. Su traza horizontal es perpendicular al plano de tierra.
• Plano de canto: perpendicular al plano vertical. Su traza vertical es perpendicular al plano de tierra.
• Plano oblicuo: inclinado respecto a ambos planos de proyección. Sus trazas son oblicuas al plano de tierra.
• Recta de máxima pendiente: recta contenida en el plano que forma el máximo ángulo con el plano horizontal. Es perpendicular a las rectas de nivel del plano.
• Recta de nivel: recta contenida en el plano y paralela al plano horizontal. Su proyección en alzado es paralela al plano de tierra.

Incidencia:

• Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las proyecciones homónimas de la recta.
• Un punto pertenece a un plano si sus proyecciones pertenecen a las proyecciones homónimas de una recta contenida en el plano.
• Una recta pertenece a un plano si pasa por dos puntos del plano o por un punto del plano y es paralela a una recta del plano.

Paralelismo:

• Dos rectas son paralelas si sus proyecciones homónimas son paralelas.
• Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en el plano.
• Dos planos son paralelos si sus trazas homónimas son paralelas.

Perpendicularidad:

• Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano. En proyección, la recta perpendicular a un plano tiene sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano (para planos proyectantes).
• Dos planos son perpendiculares si un plano contiene una recta perpendicular al otro plano.

Abatimientos:

• El abatimiento consiste en hacer girar un plano proyectante hasta hacerlo coincidir con uno de los planos de proyección, permitiendo ver el plano en verdadera magnitud.
• Para abatir un punto de un plano sobre el plano horizontal: se gira el punto alrededor de la traza horizontal del plano hasta que queda sobre el plano horizontal. El centro de giro es la proyección del punto sobre la traza horizontal.
• Radio de abatimiento: distancia desde el punto abatido hasta su proyección sobre la traza. Se calcula por el método del triángulo rectángulo: radio = √(distancia_al_trazo² + cota²).
• El abatimiento permite resolver problemas de verdadera magnitud de segmentos, ángulos y figuras planas contenidas en un plano.

Giros:

• El giro es una transformación que consiste en hacer girar un elemento (punto, recta o plano) alrededor de un eje de giro.
• En el sistema diédrico, el eje de giro es normalmente perpendicular a uno de los planos de proyección.
• Durante el giro, la proyección del punto sobre el plano perpendicular al eje describe una circunferencia. La proyección sobre el plano paralelo al eje se desplaza en una recta paralela al plano de tierra.
• Los giros se utilizan para llevar rectas y planos a posiciones particulares (paralelas o perpendiculares a los planos de proyección) que faciliten la resolución de problemas.

Perspectivas axonométricas

Perspectiva isométrica (cabañero/isométrica):

• Los tres ejes del espacio (X, Y, Z) forman ángulos de 120° entre sí en el plano del dibujo.
• El eje Z es vertical. Los ejes X e Y forman ángulos de 30° con la horizontal.
• Reducción isométrica: los factores de reducción teóricos son 0,82 (aproximadamente √(2/3)) para cada eje. En la práctica, se suele usar reducción unitaria (factor 1) para simplificar el trazado, lo que se denomina isométrica diminuida.
• En isométrica pura: las dimensiones se multiplican por 0,82.
• En isométrica diminuida: las dimensiones se toman directamente (factor 1).
• Los círculos se representan como elipses. Los ejes de la elipse son perpendiculares y paralelos al eje isométrico correspondiente. La elipse isométrica se construye mediante el método de los cuatro centros o por acotación.
• Aplicaciones: representación de piezas con formas prismáticas y circulares.

Perspectiva caballera:

• Dos ejes (normalmente vertical Z y horizontal X) son perpendiculares entre sí. El eje oblicuo Y forma un ángulo de 45° con la horizontal.
• Reducción en el eje oblicuo: factor 0,5 (caballera normal) o factor 1 (caballera acotada). El eje vertical y el eje horizontal no se reducen.
• En la caballera normal: las dimensiones del eje Y se multiplican por 0,5.
• En la caballera acotada: las dimensiones del eje Y se toman directamente (factor 1).
• Los círculos paralelos al plano frontal se representan con forma circular. Los círculos en otros planos se representan como elipses.
• Aplicaciones: representación de piezas con formas cilíndricas en el plano frontal.

Construcción de elipses en perspectiva isométrica:

• Método de los cuatro centros: se traza un rombo con lados paralelos a los ejes isométricos. Se unen los vértices del rombo con el centro mayor para obtener los centros de las cuatro arcos de circunferencia que forman la elipse.
• Los ejes de la elipse isométrica no coinciden con los ejes del rombo. El eje mayor es perpendicular al eje isométrico del plano del círculo. El eje menor es paralelo al eje isométrico.

Intersecciones

Intersección de una recta con un plano:

• Se utiliza un plano proyectante que contenga a la recta. La intersección de este plano proyectante con el plano dado determina una recta. El punto de intersección es la intersección de esta recta con la recta original.
• Para planos de posición particular, el procedimiento se simplifica: si el plano es de perfil, la intersección se obtiene directamente por proyección sobre el plano de perfil.

Intersección de dos planos:

• Se utilizan planos proyectantes que contengan a las trazas de los planos dados. La intersección de cada plano proyectante con el plano correspondiente determina una recta. La intersección de ambas rectas es el punto de corte de los dos planos.
• Para planos de posición particular, el procedimiento se simplifica significativamente.
• La recta de intersección de dos planos se determina por dos puntos de corte: uno en las trazas horizontales y otro en las trazas verticales.

Intersección de una recta con un cuerpo poliedro:

• Se aplica el método general de intersección recta-plano, aplicándolo a cada cara del poliedro. Los puntos de intersección con las caras visibles son los vértices del segmento de recta contenido en el interior del poliedro.

Intersección de dos cuerpos poliedros:

• Se determina la intersección de cada arista de un cuerpo con las caras del otro, y viceversa. Los puntos de intersección forman un polígono de intersección.

Desarrollo de superficies

Desarrollo de superficies poliedras:

• Los poliedros tienen superficies planas que se desarrollan directamente en el plano. Cada cara se representa en verdadera magnitud y se disponen consecutivamente.
• Método de las verdaderas magnitudes: se determinan las verdaderas magnitudes de las aristas y se disponen las caras una tras otra.
• Método de las triángulos: se divide la superficie en triángulos y se desarrollan individualmente.

Desarrollo de cuerpos de revolución:

• Cilindro: el desarrollo de la superficie lateral es un rectángulo. La base del rectángulo es la longitud de la circunferencia de la base (2πr). La altura del rectángulo es la altura del cilindro.
• Cono: el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular. El radio del sector es la generatriz del cono (g). La longitud del arco es la circunferencia de la base (2πr). El ángulo del sector es α = 360° × r/g.
• Toroide: el desarrollo se realiza por aproximación mediante la división de la superficie en franjas cilíndricas.

Desarrollo de transiciones:

• Las transiciones entre diferentes formas (cilíndrica a cónica, cónica a prismática, etc.) se desarrollan mediante el método de las triángulos, dividiendo las superficies en pequeños triángulos.

Unidades y sistema SI

• Longitud: milímetro (mm) en el dibujo. En perspectiva, las dimensiones se miden en el plano del dibujo y se escalan según la escala del plano.
• Ángulo: grado sexagesimal (°). En perspectiva isométrica, los ejes forman 120°. En perspectiva caballera, el eje oblicuo forma 45° con la horizontal.
• Conversión de reducción isométrica: dimensión_real × 0,82 = dimensión_isométrica_pura. dimensión_real × 1 = dimensión_isométrica_diminuida.
• Conversión de reducción caballera: dimensión_eje_oblicuo = dimensión_real × 0,5 (caballera normal) o dimensión_real × 1 (caballera acotada).

Errores comunes / Pitfalls

• Confusión entre sistema diédrico y sistema mongiano: el diédrico usa dos proyecciones (alzado y planta) con plano de tierra. El mongiano usa tres proyecciones con ejes perpendiculares. No confundir la representación de los planos de proyección.
• Abatimiento mal ejecutado: no calcular correctamente el radio de abatimiento. El radio se obtiene como hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la distancia al trazo y la cota del punto. Error frecuente: usar solo la distancia al trazo sin considerar la cota.
• Ejes de perspectiva cabañero (isométrica): trazar los ejes a 30° en lugar de 120° entre sí. Los tres ejes deben formar ángulos iguales de 120°. Los ejes X e Y forman 30° con la horizontal, pero el ángulo entre ellos es de 120°.
• Reducción en perspectiva caballera: aplicar la reducción 0,5 a todos los ejes en lugar de solo al eje oblicuo. En caballera, solo el eje oblicuo se reduce a la mitad. Los ejes vertical y horizontal mantienen su escala original.
• Confundir recta de nivel con recta de máxima pendiente: la recta de nivel es paralela al plano horizontal. La recta de máxima pendiente es perpendicular a las rectas de nivel y forma el máximo ángulo con el plano horizontal.
• Error en el abatimiento de planos: no abatir correctamente los trazos del plano. La traza horizontal del plano abatido pasa por el punto de contacto con el plano de tierra y forma el mismo ángulo con la traza horizontal que la traza vertical original.
• Elipse isométrica invertida: colocar el eje mayor de la elipse perpendicular al eje isométrico correcto. El eje mayor de la elipse es siempre perpendicular al eje isométrico del plano del círculo.
• Desarrollo de cono: calcular incorrectamente el ángulo del sector. El ángulo es α = 360° × r/g, donde r es el radio de la base y g es la generatriz.

Verificación

• ¿Las proyecciones de los puntos, rectas y planos están correctamente alineadas respecto al plano de tierra?
• ¿Los factores de reducción en perspectiva isométrica son 0,82 (pura) o 1 (diminuida)?
• ¿Los ejes isométricos forman ángulos de 120° entre sí?
• ¿En perspectiva caballera, el eje oblicuo forma 45° y se reduce a 0,5?
• ¿Los abatimientos se calculan con el radio correcto (hipotenusa del triángulo rectángulo)?
• ¿Las intersecciones recta-plano se resuelven con un plano proyectante que contenga a la recta?
• ¿El desarrollo de superficies poliedras mantiene las verdaderas magnitudes de todas las caras?
• ¿El desarrollo del cono tiene el ángulo correcto del sector (α = 360° × r/g)?
• ¿Las elipses isométricas tienen el eje mayor perpendicular al eje isométrico correspondiente?